1. Empréstito
Posted on: febrero 10, 2010
Es el préstamo que toma el Estado, corporación, o empresa, con el fin de financiar proyectos de desarrollo. Es una financiación a largo plazo en un volumen de dinero importante, que por su magnitud, no está al alcance de los bancos porque un préstamo de este tipo a un solo cliente supone una concentración de riesgo muy alto para una entidad financiera.
Generalmente está representado por títulos negociables en bolsa, nominativos o al portador colocado en el mercado interno o externo. Es una modalidad de financiación que permite acudir directamente al mercado, en lugar de ir a una entidad financiera.
La entidad divide el préstamo o empréstito de obligaciones en un gran número de pequeñas partes alícuotas denominadas obligaciones, que coloca entre multitud de inversores. Estas partes del empréstito vienen representadas por «títulos-valores». Todos los «títulos-valores» correspondientes a una misma emisión presentan las mismas características: importe, tipo, vencimiento, etc. La entidad que emite los títulos es el «emisor», mientras que el inversor que los suscribe es el «obligacionista». La fórmula general del valor del empréstito es expresada así:
Por último, la sociedad deberá devolver la cantidad recibida y los intereses pactados mediante el sistema de amortización establecido en las condiciones de emisión del empréstito.
1.2. Valor de emisión y valor de reembolso
La explicación de una serie de conceptos referente a los empréstitos lo vamos a efectuar a través de un sencillo ejemplo:
Consideremos una institución (pública o privada) que emite un empréstito, representado por 15,000 obligaciones con un valor nominal de UM 10,000 cada una, emitidas al 85% y reembolsables al 115%. La amortización es cada 5 años, a un ritmo de 3,000 títulos anuales.
Generalmente en éste y en cualquier empréstito distinguimos las siguientes expresiones:
a) Valor nominal (UM 10,000) VN: Importe del título sobre el que son pagados los intereses.
b) Valor de emisión: Importe que el suscriptor / inversor u obligacionista desembolsa por la adquisición del título.
VN x % de emisión = UM 10,000 x 85% = UM 8,500
c) Valor de reembolso: Importe que percibirá el inversionista en el momento que su obligación sea amortizada.
VN x % de reembolso = UM 10,000 x 115% = 11,500
d) Prima de reembolso: Diferencia entre el valor de reembolso de la obligación y el valor nominal de la misma.
11,500 – 10,000 = UM 1,500
e) Prima o quebranto de emisión: Diferencia entre el valor nominal de la obligación y su valor de emisión.
10,000 – 8,500 = UM 1,500
La prima o quebranto de emisión y prima de reembolso incrementan la rentabilidad del empréstito para el inversor / suscriptor de las obligaciones, facilitando así su venta en el mercado.
1.3. Emisión
La emisión de obligaciones y bonos significa incurrir –en la mayoría de casos-, en costos financieros explícitos (intereses sobre el valor nominal, los cupones) y de costos implícitos (prima de reembolso, el quebranto de emisión, etc.).
Usualmente, las primas de emisión y reembolso constituyen la rentabilidad implícita, en relación al suscriptor/inversor de la obligación, que es quien percibirá a la amortización de las obligaciones un importe superior al que ha prestado. Desde el punto de vista del emisor de los títulos, las primas representan un costo de naturaleza financiera (al ser costo de dinero) por el incremento en función al tiempo.
Es decir, que a la fecha de emisión del empréstito la deuda devengada es de UM 8,500/título, que viene a ser la cantidad recibida, deuda que crece al transcurrir el tiempo, por ende, produciéndose intereses implícitos.
1.4. Gastos de emisión
La emisión de un empréstito de obligaciones, conlleva incurrir en gastos como: escritura pública, autorizaciones de la Comisión Nacional del Mercado de Valores, publicidad, convocatoria de los obligacionistas, etc.
1.5. Intereses
1.5.1. Intereses explícitos
Como vimos anteriormente, la emisión de un empréstito constituye el pago de intereses (denominados cupones) en tanto la obligación no está amortizada (viva o en circulación). Interés producido por el simple hecho de que transcurre el tiempo.
1.5.2. Intereses implícitos
Están constituidos por las primas de emisión y reembolso y aparecen en el momento de la emisión de la deuda.
Los «títulos-valores» ofrecen al inversor / suscriptor los siguientes derechos:
a) Recibir periódicamente intereses por los fondos prestados
b) Recuperar los fondos prestados al vencimiento del empréstito.
Clasificamos los empréstitos según diversos criterios:
a) Según el emisor: deuda pública (emitida por entidades públicas) y deuda privada (emitida por empresas).
b) Según el vencimiento: deuda amortizable (si tiene vencimiento) y deuda perpetua (no tiene vencimiento. No obstante, el emisor suele reservarse el derecho de amortizarla cuando lo considere oportuno).
c) Según la modalidad de amortización: con vencimientos periódicos parciales (en cada período es amortizado, un número determinado de títulos o una parte de todos los títulos) y con una única amortización al vencimiento.
d) Según el valor de emisión de los títulos: títulos emitidos a la par (emitidos por su valor nominal), títulos bajo la par (emitidos a un precio inferior a su valor nominal) y títulos sobre la par (emitidos a un precio superior a su valor nominal).
e) Según su valor de amortización: reembolsables por el nominal (su precio de amortización coincide con su valor nominal) y reembolsables con prima de amortización (su precio de amortización es superior a su valor nominal).
f) Según el pago de intereses: pago de intereses periódicos (periódicamente el inversor recibe sus intereses) y «cupón cero» (un único pago de intereses en la fecha de vencimiento final del empréstito).
g) En función de la duración del empréstito: Pagarés (vencimiento inferior a 18 meses), Bonos (vencimiento entre 2 y 5 años) y obligaciones (vencimiento normalmente a más de 5 años).
1.6. Deuda del Estado
Deuda Pública, forma de obtener recursos financieros por el Estado, otros poderes públicos o sus organismos autónomos mediante emisiones de títulos valores, generalmente negociables en Bolsa.
Una empresa cualquiera o un gobierno que desee obtener recursos para satisfacer sus necesidades de capital de trabajo y/o efectuar inversiones para su desarrollo, pueden optar por dos fuentes básicas de financiación:
1. Obtener crédito en una entidad financiera interna o externa.
2. Efectuar la emisión de títulos en el mercado de capitales.
Ambas fuentes significan endeudamiento: este endeudamiento es interno, cuando la empresa o gobierno recurre a fuentes financieras internas o emite bonos («Bonos Soberanos») y es externa cuando el endeudamiento es con entidades financieras externas.
La ventaja de un endeudamiento externo es que ingresan al país beneficiario capitales frescos; las condiciones, plazos y el mismo préstamo están sujetas a la calidad ética de los funcionarios responsables de la negociación.
El servicio de la deuda pública, que incluye el reembolso del principal y el pago de los intereses, es una partida obligada de los presupuestos generales del Estado. La deuda a corto plazo generalmente adquiere la forma de letras y pagarés del Estado. A más largo plazo, están los Bonos y las Obligaciones del Estado.
Deuda pública según su plazo:
ü De corto plazo: aquella concertada a plazos menores o igual a un año.
ü De largo plazo: aquella concertada a plazos mayores a un año.
El Estado debe utilizar como fuente de financiación para proyectos de desarrollo (no para gasto ni pago de deuda), la emisión de títulos-valores a corto y largo plazo.
Bonos del Estado
Por lo general, son títulos al portador, normalmente negociables en bolsa, con ámbito nacional o internacional e interés fijo o flotante, con base en el LIBOR (London Interbanking Offered Rate), tipo medio de interés, día a día, en el mercado interbancario de Londres, que paga por los créditos que conceden unos bancos a otros), o en otra referencia. Su precio varía inversamente a las variaciones de los tipos de interés. En la mayor parte de los mercados, los precios cotizan limpios, sin incluir intereses, es decir, ex-cupón. Al interés devengado lo llaman cupón corrido.
Obligaciones del Estado (vencimiento a 10-30 años)
Estos títulos presentan entre otras las siguientes características:
a) Su valor nominal suele ser constante
b) Son suscritos mediante subasta, adjudicándoselo a aquel inversionista que ofrece un precio más elevado
c) Pago de intereses anuales pospagables
d) Amortización a la par
Estos valores son colocados con anterioridad a su emisión:
Por ejemplo:
Unas obligaciones a 10 años, que al emitirse el 10 de enero del año 2005, comienzan a colocarse entre los inversores a partir de junio/2004.
En el momento de la colocación el inversor desembolsa el importe de la adquisición, pero el título no comienza a generar intereses hasta que no es emitido.
Este plazo transcurrido entre colocación y emisión debe tenerse en cuenta a la hora de calcular la rentabilidad efectiva del título.
1.7. Bono
El Bono es un documento a largo plazo emitido por una empresa privada o el gobierno. Particularmente, el prestatario recibe hoy dinero a cambio de una promesa de pago después, con interés pagado entre el período de efectuado el préstamo y el instante del reembolso. Por lo general, la tasa de interés de los bonos recibe el nombre de cupón.
Existe una amplia gama y formas de bonos. Para nuestro caso, consideramos cuatro clasificaciones generales:
1º. Títulos–valores. Emitidos y respaldados por el gobierno. Son considerados títulos-valores de menor riesgo en el mercado. Los intereses generados casi siempre están exonerados del impuesto a la renta estatal y local. Existen tres tipos de títulos-valores: Certificados mayores o igual a un año; Pagarés de 2 a 10 años y Bonos de 10 a 30 años.
2º. Bono hipotecario. Respaldados por hipotecas o por activos determinados de la empresa que emite los bonos. Existen hasta tres tipos de bonos hipotecarios: de Primera hipoteca, de Segunda Hipoteca y Fideicomiso de equipo. Los bonos de primera hipoteca tienen primera prioridad en el caso de liquidación. Son de más riesgo y consecuentemente, la tasa que pagan es menor. Son referenciados como bonos colaterales los respaldados por una garantía colateral. Un bono de fideicomiso de equipo es aquel en el que el bien comprado a través del bono es usado como una garantía colateral.
3º. Bonos amortizables. No están respaldados por ningún tipo de garantía colateral. Por lo general estos bonos pagan las tasas más altas de interés debido a su mayor riesgo.
Existen hasta tres tipos de bonos amortizables:
a) Bono convertible. Es un bono cuyas cláusulas permiten que éste sea convertido en acción de la empresa que lo emitió a un precio prefijado. A cambio, tienen un cupón inferior al que tendría sin la opción de convertibilidad, lo cual el inversor acepta previendo una posible subida del precio de la acción.
b) Bono subordinado. Representa la deuda ubicada una detrás de otra deuda en el caso de reorganización o liquidación de la empresa.
c) Bono especulativo, bono basura o junk bonds. En la jerga financiera de EE.UU., título de renta fija y alto rendimiento emitido por compañías cuya solvencia no es de primera clase; sin que a pesar de ello existan expectativas de posible insolvencia.
4º. Bonos municipales. Emitidos por los gobiernos locales. Generalmente estos bonos están exentos del impuesto a la renta. La tasa de interés pagada por estos bonos por lo general es muy baja. Estos bonos pueden ser:
a. Bonos de obligación general. Son emitidos contra los impuestos recibidos por el gobierno local. Es decir estos bonos están respaldados por todo el poder impositivo del emisor.
b. Bonos de ingresos. Son emitidos contra el ingreso generado por el proyecto financiado (planta de tratamiento de agua, energía eléctrica, puente etc.). Lo que no puede hacerse es crear impuestos para el reembolso de los bonos de ingresos.
c. Bonos de cupón cero. Emitido sin cupón de renta (no hay pagos de intereses periódicos). Son negociables con descuento sobre su valor nominal, el cual es redimido a su vencimiento. La TIR surge del diferencial entre el valor nominal y el precio.
d. Bonos de tasa variable. Son aquellos cuyas tasas de los cupones son ajustados a puntos determinados en el tiempo (semanalmente, mensualmente, anualmente, etc.).
e. Bonos de venta. Los bonos de venta brindan al tenedor la oportunidad de hacer efectivo el bono en fechas determinadas (una o más) con anterioridad a su vencimiento.
Las empresas o sociedades agentes de bolsa con el fin de ayudar a los inversionistas califican los bonos de acuerdo con la cuantía de su riesgo asociado con su compra (Calidad AAA de la más alta calidad) hasta DDD (bonos de la peor calidad).
1.7.1. Procesos de Bonos e Intereses
Como vimos, un bono no es más que un préstamo. Es un préstamo otorgado a una empresa o gobierno con el dinero de uno o varios prestamistas. El «emisor» del bono (la empresa o gobierno que recibe el préstamo) adquiere el compromiso de pagar a sus «inversores» una tasa de interés por prestarle el dinero (compensación por posponer la posibilidad de un consumo presente) y a rembolsar el valor nominal del bono a su vencimiento. En términos generales, cada préstamo o «emisión» de un bono tiene ciertas y particulares condiciones detalladas en el momento de la emisión. Estas condiciones son: el valor nominal del bono, su tasa de interés o cupón, el período de pago de intereses del bono y su fecha de vencimiento.
El valor nominal. El principal o capital que hace referencia a su denominación; los valores más utilizados son los bonos de: UM 100, 500, 1,000, 10,000 y 50,000. El valor nominal es importante por dos razones:
1. El valor nominal representa la suma global que será pagada al tenedor del bono a la fecha de su vencimiento.
2. El importe del interés I pagado por período con anterioridad a la fecha de vencimiento del bono, es calculado multiplicando el valor nominal del bono (VN) por su tasa de interés (ib) divido entre el período (nb), con la siguiente fórmula:
Generalmente un bono es comprado con descuento (menor que el valor nominal) o con una prima (mayor que el valor nominal). Para el cálculo del interés I del bono solamente utilizamos el valor nominal y no el precio de compra.
EJEMPLO 214 (Recibiendo intereses por la compra de bonos)
Calcular el monto de interés que Jorge recibirá por período si compra un bono de UM 10,000 al 4%, el cual vence dentro de 10 años con intereses pagaderos bimestralmente.
Solución:
VN = 10,000; ib = 0.04; nb = (12/2) = 6; I =?
Respuesta: Jorge recibirá por concepto de intereses UM 80 cada 2 meses adicionales a los UM 10,000 que recibirá al vencimiento del bono.
EJEMPLO 215 (Recibiendo pagos por invertir en un bono)
Una empresa fabricante de cocinas y hornos industriales tiene proyectado expandirse y para financiarse recurre a la emisión de bonos de UM 1,000 al 6% para financiar el proyecto. Los bonos vencerán dentro de 10 años con pagos semestrales de interés. El Gerente de la empresa compró uno de los bonos a través de su Agente de Bolsa por UM 900. ¿Cuánto recibirá por concepto de pagos?
Solución:
VN = 1,000; ib = 0.06; nb = (12/6) = 2; I =?
Respuesta: El empresario recibirá UM 1,000 en la fecha de vencimiento del bono, dentro de 10 años; además recibirá cada seis meses el importe de UM 30 por concepto de intereses, conforme el compromiso de la empresa a pagar al momento de la emisión.
1.7.2. Factores de riesgo de los bonos
Cada uno de los determinantes del flujo final de fondos de la inversión en un bono son los distintos factores de riesgo de los instrumentos de renta fija, donde los principales son:
1. «Riesgo de default», el riesgo de incumplimiento del emisor;
2. «Riesgo moneda» o riesgo de recibir los pagos de amortización y renta en la moneda pactada o el tipo de cambio que afecte la rentabilidad de la inversión;
3. «Riesgo de liquidez», o riesgo de que las posibilidades de vender el bono (o transferir a un tercero los derechos sobre la amortización y renta del bono antes de su vencimiento) sean limitadas;
4. «Riesgo de inflación» o riesgo de que la inflación erosione el rendimiento final de la inversión;
5. «Riesgo de reinversión» o el riesgo de variación de la tasa de interés a la cual podremos reinvertir el dinero que cobremos por renta o por amortización durante la vigencia del bono;
6. «Riesgo tasa de interés», o riesgo de que cambios en las condiciones generales de la economía impacten en el precio del bono en el mercado.
1.7.3. Bono Cupón Cero
Es aquel que no paga intereses durante la vida de la emisión, sino que, los perciben íntegros con la amortización del principal, es vendido con un fuerte descuento sobre el nominal, siendo su precio muy sensible a las variaciones de los tipos de interés. Con frecuencia estos bonos son vendidos con descuentos mayores al 75% de su valor nominal, para hacerlos más atractivos ante los inversionistas. El bono cortado es un bono convencional cuyo cupón de intereses es vendido en forma separada de su valor nominal. El comportamiento de éste bono es el de un bono cupón cero.
1.7.4. Precio / Tasa. Tasa / Precio
Entender por qué y cómo interrelacionamos estas variables es función de la tasa de Interés. La tasa de interés es la que genera la dinámica de un bono, lo que le da vida.
Ejemplo 216 (Préstamo o inversión en un bono)
a) César propone a Jorge que le preste UM 1,000 por un año, con la promesa de devolverle UM 1,120 al final de este período. Este caso es lo mismo que invertir en un bono que vale UM 1,000 (valor nominal) con un rendimiento anual del 12%.
b) Jorge tiene otra propuesta similar en monto y plazo que el anterior, pero la oferta de devolución al final del año no es UM 1,120 sino UM 1,300.
Este segundo caso (bono) vale también UM 1,000, pero con un rendimiento anual del 30%.
Frente a esta segunda oferta, César necesitado de dinero y la seguridad de rembolsar UM 1,120 al final del año, decide mejorar la segunda oferta y propone que además de devolverle al final del año la suma indicada, –le dice- «en lugar de prestarme hoy los UM 1,000, me arreglo con sólo UM 862 que es lo que realmente requiero para el apuro que tengo».
Para calcular el valor del bono que debe ofertar César a Jorge aplicamos la fórmula [21]:
VF = 1,120; ib= 0.30; n = 1; VA =?
Lo que César hizo es bajar el precio del bono a UM 862 y automáticamente le subió la tasa de interés a 30%. Calculamos la tasa (ib), aplicando la fórmula [11]:
VF = 1,120; VA = 861.5385; n = 1; ib=?
1.7.5. Relación del precio con la tasa de interés
La relación del precio con la tasa de interés es muy importante, como pasamos a demostrarlo:
1) El comportamiento del precio de un bono es contrario a la tasa de interés: si el precio baja la tasa sube y si el precio sube la tasa baja.
Si el plazo del bono aumenta, para una misma tasa de rendimiento anual le corresponde un precio del bono menor, o bien, para que el precio sea invariable cuando el bono estira su plazo, la tasa debe bajar. Para una misma tasa de interés, el precio baja si el plazo sube.
2) El movimiento del precio de un bono es al revés que el plazo para una misma tasa. El movimiento del precio de un bono se comporta de manera inversa a la tasa y al plazo. Esto último es así porque el «impacto» de la misma tasa anual se «potencia» por la simple acumulación de años: duplica en dos años, triplica en tres años, etc.
3) La sensibilidad del precio del bono frente a cambios en la tasa es creciente a medida que aumenta el plazo del bono. Sensibilidad y plazo guardan una relación directa.
1.7.6. Valor actual de los bonos
Cada vez que nos referimos al precio del bono hacemos mención al «valor actual» del monto del vencimiento, o dicho de otra manera, al monto del vencimiento actualizado a la fecha de hoy.
El precio del bono es siempre el monto que, aplicándole la tasa de interés, iguala el importe del vencimiento. Si al valor del vencimiento le descontamos el interés, obtenemos su precio.
El precio es equivalente al «valor actual» del importe del vencimiento «descontado» a la tasa de interés del bono.
Luego, el precio de un bono «es» el «valor actual» de su «flujo de fondos esperado» «descontado» a su tasa de rendimiento.
EJEMPLO 217 (Cuánto pagaría hoy por un bono…)
Una persona requiere tener un 10% anual nominal compuesto semestralmente sobre una inversión en bonos, ¿cuánto pagaría hoy por un bono de UM 5,000 al 7% que vencerá dentro de 10 años y paga intereses semestrales?
Solución:
VN = 5,000; ib = 0.07; nb = (12/6) = 2; I =?
1º Calculamos el valor del pago de los intereses (cupón) del bono:
2º Utilizando la tasa de interés por período que la persona prevé recibir: 10% anual compuesto semestralmente, es decir 10%/2 = 5% semestral. La tasa de interés del bono (ib) sólo es utilizada para el cálculo del importe del pago de los intereses del bono. I es simplemente un valor C.
VA = [FORMULA 24] + [FORMULA 21]
I(C) = 175; i = 0.05; n = 20; VF = 5,000; VA =?
Respuesta:
La persona debe pagar por el bono UM 4,065.33 el día de hoy para asegurarse un 10% anual nominal compuesto semestralmente sobre su inversión. Pagar una cantidad mayor que la indicada significaría una tasa de retorno menor al 10% esperado.
Cuando el período de capitalización del inversionista es menor que el período de intereses del bono, deberá hacerse uso de la fórmula [55], como veremos en el siguiente ejemplo.
EJEMPLO 218 (Calculando el VA de un bono)
Determinar el valor actual de un bono de UM 10,000 al 5.8% con intereses pagados semestralmente. Si el inversionista aspira a obtener una rentabilidad del 12% anual compuesto trimestralmente sobre su inversión y el bono vence dentro de 5 años.
Solución:
VN = 10,000; ib = 0.058; nb = (12/6)= 2; I =?
Para obtener el VA del bono, trasladamos el pago de intereses de UM 290 hasta el año 0 adicionándolo el VA de UM 10,000 del semestre 10.
1º A partir de la tasa nominal compuesta trimestralmente obtenemos, primero la tasa del trimestre, aplicando la fórmula (44B):
j = 0.12; n = (12/3) = 4; i =?
2º Recordando que todas las fórmulas del interés compuesto solo operan con tasas efectivas (del período), debemos determinar la tasa efectiva del semestre aplicando la fórmula (43B), que viene a ser asimismo la tasa del periodo:
i = 0.03; n = (0.12/2) = 2; TEA =?
(43B) TEA = (1.03)2 -1 = 0.0609 semestral
3º Aplicando en forma combinada las fórmulas (24) y (21) o la función VA, calculamos el VA del bono:
C(I) = 290; n = (5*2) = 10; i = 0.0609; VN(VF) = 10,000; VA = ?
VA = [FORMULA 24] + [FORMULA 21]
Respuesta: El VA del bono es menor al VN del bono a 10 años, no obstante haberle sumado el VA de los intereses semestrales, por que el precio de un bono es contrario a la tasa de interés. Para que el precio sea invariable cuando el bono estira su plazo, la tasa debe bajar. Para una misma tasa de interés, el precio baja si el plazo sube.
1.7.7. La TIR de un bono
La TIR y la tasa efectiva son dos herramientas que deben utilizarse para tomar decisiones principalmente cuando tratamos de comprar y vender papeles en bolsa.
La tasa interna de retorno de un bono (TIR). Es la tasa de interés que hace que la suma de los valores actuales de los cupones descontados a esa misma tasa iguale el precio del bono.
EJEMPLO 219 (Tasa nominal y efectiva de un bono)
Una persona pagó UM 750 por un bono de UM 1,000 al 6% que vence dentro de 10 años con intereses semestrales. Determinar la tasa nominal y efectiva que recibiría esta persona por su inversión con capitalización semestral.
Solución:
VN = 1,000; ib = 0.06; nb = (12/6) = 2; n = 20 (10*2) I = ?
1º. Calculamos el ingreso por la compra de bonos, que viene a ser el interés de los bonos cada 6 meses más el monto nominal dentro de 10 años (20 semestres):
VN = 1,000; I(C) = 30; n = 20; ib(TIR) = ?
2º. Aplicando la función TIR (de 0 al período 20), calculamos la tasa periódica i:
3º. A partir de esta tasa, aplicando las fórmulas (44A) y (43B) calculamos la tasa nominal y la TEA respectivamente:
(44A) j = 0.0501*2 = 0.1002
(43B) TEA = (1 + 0.0501)2 – 1 = 0.1027
Igual resultado obtenemos con la función INT.EFECTIVO:
Respuesta: La tasa nominal y efectiva anual con capitalización semestral es:
Tasa Nominal : 10.02%
Tasa Efectiva Anual : 10.27%
1.8. Empréstito con amortizaciones parciales de capital
Esta categoría de empréstitos es amortizada con disminuciones parciales de capital. El caso más frecuente de este tipo de empréstitos, es aquél en el que las amortizaciones de capital son uniformes a lo largo de la vida de la operación. Las amortizaciones parciales de capital son calculadas de la siguiente manera:
AMORTIZACION = Amortización
VA = Valor inicial del empréstito
n = Número de períodos
EJEMPLO 220 (Empréstito con amortizaciones parciales de interés)
Hacemos una emisión de UM 5,000 millones, representados por 500,000 títulos de UM 10,000 valor nominal cada uno. El plazo es de 5 años y la amortización del principal es en montos uniformes. La tasa de interés es de 7%. Elabore el cuadro de amortización.
Solución:
VA = 5,000’000,000; ib = 0.07; n = 5; AMORTI. = ?
1º Calculamos la amortización anual:
2º Con este resultado elaboramos el cuadro de amortización del empréstito:
SALDO VIVO = SALDO FINAL
INTERES = SALDO VIVO*ib
CUOTA = AMORTI. + INTERES
SALDO FINAL = SALDO VIVO – AMORTI.
1.9. Empréstitos sin vencimiento
Esta categoría carece de vencimiento, son perpetuos. Sólo son emitidos por entidades públicas, los pueden amortizar en cualquier momento futuro.
Al no haber amortización del principal, la cuota periódica está formada exclusivamente por los intereses:
C = IDEL PERIODO
La imposición de los intereses será siempre la misma, el saldo vivo permanece invariable (asumiendo también, un tipo de interés fijo durante toda la vida de la operación).
EJEMPLO 221 (Empréstito sin vencimiento)
Realizamos una emisión de obligaciones de UM 3,000 millones., sin vencimiento, con un tipo de interés anual del 8%. Determinar el importe de la cuota periódica:
Solución:
VA = 3,000; n = 1; i = 0.08; I = C =?
[8] I = 3,000*0.08*1 = UM 240 millones
Luego CPERIODICA = 240 millones
El valor de mercado de este tipo de empréstito (en cualquier momento de su vida), es calculado con la siguiente fórmula:
Vm = el valor del empréstito
Is = Interés del período
im = el tipo de mercado para emisiones de características similares en el momento de la valoración.
Transcurrido 4 años de la anterior emisión, el tipo de interés para emisiones similares ha subido al 9%. Determinar el valor actual de este empréstito:
Solución:
IS = 240; n = 1; im = 0.09; Vm = ?
Luego, el valor del empréstito es de UM 2,667 millones., menor que su valor nominal (UM 3,000 millones).
1.10. Empréstitos, amortización por sorteo
Son muy utilizados. Son periódicos. Las amortizaciones de un número determinado de títulos son elegidos por sorteo. Las cuotas periódicas incluyen, dos conceptos: El pago de los intereses del período y la amortización de aquellos títulos seleccionados.
a) Pago periódico de intereses y cuotas periódicas constantes
En este tipo de empréstitos, destaca un modelo particular caracterizado porque sus cuotas periódicas son constantes durante toda la vida del empréstito. Para facilitar la solución, vamos a considerar que el tipo de interés también es constante durante toda la operación.
Para determinar el valor de la cuota periódica aplicamos la fórmula de equivalencia financiera:
VAo = importe inicial del empréstito
CP = importe de la cuota periódica
Ao = valor actual de una renta constante, pospagable
De aquí podemos despejar el valor de CP. Para calcular que parte de esta cuota periódica corresponde a amortización de capital calculamos la correspondiente al primer período:
[58] C1 = (VA*i*n) + (A1*VN)
El primer paréntesis (VA*i*n) corresponde a los intereses del período, mientras que el segundo paréntesis (A1*VN) corresponde a la amortización de capital (siendo A1 el número de títulos que amortizados y VN el valor nominal de cada título).
El importe de los intereses es calculado directamente y seguidamente deducimos el valor de la amortización de capital (y con ella, el número de títulos amortizados).
A partir del número de títulos amortizados en el primer período, es posible calcular el calendario de amortizaciones.
La parte de cada cuota periódica que corresponde a intereses es calculada por diferencia:
EJEMPLO 222 (Cuadro de amortización de empréstito)
Realizamos una emisión de obligaciones de UM 3,000 millones, distribuida en 3’000,000 de títulos de UM 1,000 valor nominal cada uno, a un plazo de 5 años y tipo de interés del 7.5%. Las cuotas son anuales y constantes. Calcular el cuadro de amortizaciones:
Solución: (El VN = 0.001 en millones de UUMM)
VA = 3,000; VN = 0.001; n = 5; t = 1; i = 0.075; Cp =?
1º Calculamos la cuota periódica constante con la fórmula [25] o con la función PAGO:
2º Calculamos la cantidad de títulos amortizada en el primer período:
C1 = 741.49
[58] C1 = (VA*i*n) + (A1*VN)
[58] 741.49 = (3,000*0.075*1) + (A1*0.001)
741.49 – 225 = A1*0.001
3º Con este resultado estamos en condiciones de calcular el número de títulos amortizados en cada uno de los períodos, aplicando para ello sucesivamente la fórmula [19] o la función VF de Excel, (A1 = VA = 516,494):
[19] VF = VA (1+ i)n
4º Con esta información podemos elaborar el cuadro de amortizaciones:
VIVOS = CANT. TITULOS – CANT. AMORT. x PERIODO
AMORT.CAPITAL = CANT. AMORT.xPERIODO*0.001
INTERESES = CUOTA – AMORT.
SALDO VIVO = SALDO – AMORT.
Trabaje la tabla con todos los decimales, para obtener los dos saldos cero.
b) Pago periódico de intereses y amortización de capital constante
Otra modalidad de empréstitos de mucho uso. Para el cálculo del número de títulos amortizados en cada período empleamos la siguiente fórmula:
Nomenclatura:
A = número de títulos amortizados en cada periodo
T = número total de títulos emitidos
p = número de períodos
Para saber como evoluciona la cantidad de títulos en circulación y con ello el saldo vivo del empréstito, es necesario conocer la cantidad de títulos amortizados en cada período.
EJEMPLO 223 (Cuadro de amortización de empréstito)
Emiten obligaciones por UM 30,000 millones, a 5 años y con un tipo de interés del 7%. Contiene la emisión 10,000,000 de títulos, con un valor nominal de UM 30,000 cada uno. Amortizamos el mismo número de títulos en cada período. Calcular el cuadro de amortizaciones:
Solución:
T = 10’000,000; p = 5; VN = 0.001; A =?
1º Calculamos la cantidad de títulos amortizados en cada período:
2º Elaboramos la tabla de amortización de la obligación:
VIVOS = CANT. TITULOS – CANT. AMORT. x PERIODO
AMORT.CAPITAL = CANT. AMORT.xPERIODO*0.001
INTERESES = SALDO VIVO*7%
SALDO VIVO = SALDO – AMORT.
1.11. Empréstitos Cupón cero
Los empréstitos con un único pago de intereses en el momento de amortización de los títulos, son de cupón cero. Dentro de este tipo de empréstitos destacan dos variantes:
a) Cuotas periódicas constantes
b) Amortización del mismo número de títulos en cada período
a) Cuotas periódicas constantes
Es diferente de los empréstitos con pago de intereses periódicos y cuota constante, en que la cuota periódica considera intereses sobre el saldo vivo, mientras que los de cupón cero sólo incluyen los intereses acumulados de los títulos amortizados en ese período. Por simplificación consideraremos que el tipo de interés es constante durante toda la vida del empréstito.
Para determinar el número de títulos amortizados en cada período, empezamos conociendo los del primero:
[60] C1 = (VA*i*n) + (1 + i)
A1 = número de títulos amortizados en el primer período
VN = valor nominal de cada título
EJEMPLO 224 (Cuadro de amortización de empréstito)
Emiten obligaciones por UM 6,000 millones, 1’000,000 de títulos, con un valor nominal de UM 6,000 cada uno. La duración es de 5 años y tipo de interés constante del 8%. Las cuotas anuales son constantes y los intereses son pagados en el momento de amortización de cada título. Elaborar el cuadro de amortizaciones:
Solución: (el VN del título está expresado en millones de UM)
i = 0.08; n = 5; VA = 6,000; VN = 0.006; CP = ?
1º Calculamos la cuota periódica, aplicando la fórmula [25] o la función PAGO:
2º A continuación calculamos el número de títulos amortizados en el primer período:
[60] C1 = (VA*i*n) + (1 + i)
[60] 1,502.74 = (A1*0.006) + (1 + 0.08)
3º Calculamos el número de títulos amortizados del período dos al cinco, aplicando sucesivamente la fórmula [21] o la función VA de Excel:
4º Finalmente, con las cifras obtenidas elaboramos el cuadro de amortizaciones:
VIVOS = CANT. TITULOS – CANT. AMORT. x PERIODO
AMORT.CAPITAL = CANT. AMORT.xPERIODO*0.001
INTERESES = CUOTA PERIODICA – AMORT. DE CAPITAL
SALDO VIVO = SALDO – AMORT.
b) Amortización del mismo número de títulos en cada período
En este tipo de empréstitos en cada período es amortizado el mismo número de títulos, aplicando la fórmula [59]:
Con este dato elaboramos el calendario de amortización y graficamos la evolución del saldo vivo del empréstito.
Para el cálculo del valor de la cuota periódica aplicamos la siguiente fórmula:
[61] C1 = (A*VN) * (1 + i)^s
Restando a la cuota del período la parte de amortización de capital (A *Vn) obtenemos los intereses pagados en ese momento.
1.12. Obligaciones convertibles
Permiten al obligacionista o inversor resolver en un momento futuro entre mantener dichas obligaciones o convertirlas en acciones de la sociedad. En el momento de su emisión fijamos el método a utilizar para establecer la relación de conversión; es decir, número de acciones a recibir por cada obligación, así como en qué momento(s) futuro(s) el obligacionista podrá optar por acudir a la conversión. La relación de conversión es definida en la siguiente expresión:
a) Valor de conversión de la obligación. Representado por su valor nominal.
b) Valor de la acción. Generalmente establecemos el precio medio de la acción durante un número determinado de días antes de la fecha de conversión. Con el objeto de que la conversión sea más atractiva para el inversor, aplicamos un descuento entre 10% y 20% al precio medio de la acción.
Para determinar si interesa o no acudir a la conversión hay que comparar los dos valores siguientes:
a) Valor de mercado de la obligación en la fecha de la conversión
b) Valor de transformación. Es el valor de mercado en la fecha conversión del número de acciones que recibimos por cada obligación.
Si el valor de mercado de la obligación es mayor, no interesa acudir a la conversión. Si es menor, es lo contrario.
La diferencia entre el valor de mercado de la obligación y el valor de transformación la denominamos prima de conversión.
1.13. Rentabilidad de un empréstito
Para el inversionista, la rentabilidad efectiva de una obligación lo representa el tipo de interés que iguala en el momento inicial el valor de la prestación (precio pagado por dicho título) y el valor de la contraprestación (intereses recibidos y amortización final).
En las obligaciones amortizadas por sorteo y que presentan distintos tipos de beneficios (primas de emisión, de amortización, etc.), la rentabilidad efectiva depende del momento de amortización de cada título.
Normalmente, la rentabilidad será superior en aquellos títulos amortizados son anterioridad, el efecto positivo de las distintas primas de emisión y/o de amortización será más significativo.
El inversor no puede conocer apriori cuál será la rentabilidad efectiva de sus títulos, pero si puede conocer como evolucionará ésta en función del momento en que sean amortizados.
La rentabilidad de un título calculada aplicando la función financiera o la función TASA de Excel:
EJEMPLO 225 (Rendimiento efectivo de un empréstito)
Emiten obligaciones de UM 3,000 cada título, con el 9% de interés y vencimiento en 5 años. Tiene un descuento en la suscripción del 6% (compran los títulos por UM 2,820) y una prima de amortización del 2.5% (cobra en el vencimiento UM 3,075 por cada título). Los títulos son amortizados mediante sorteos anuales. Determinar el rendimiento efectivo de esta obligación.
Solución:
n = 1…5; VA = 2,820; VF = 3,075; i= 0.09; PAGO= ?; ie = ?
1º Para calcular la tasa efectiva aplicamos sucesivamente la función TASA:
PAGO = 3,000*0.09 = 270
En el cuadro, observamos, la evolución de la rentabilidad efectiva según el momento de amortización de los títulos.
La rentabilidad calculada no considera el costo impositivo (es rentabilidad bruta). Cuando consideramos esto, simplemente debemos sustituir los ingresos brutos por los ingresos netos (deducidos impuestos).
2. Sistema de equilibrio
El análisis de equilibrio es un importante elemento de planeación a corto plazo; permite calcular la cuota inferior o mínima de unidades a producir y vender para que un negocio no incurra en pérdidas. Es una medida muy mal utilizada por el desconocimiento de sus limitaciones.
Es una de las herramientas administrativas de mayor importancia, fácil de aplicar y que nos provee de información importante. «Esta herramienta es empleada en la mayor parte de las empresas y es sumamente útil para cuantificar el volumen mínimo a lograr (ventas y producción), para alcanzar un nivel de rentabilidad (utilidad) deseado.
Es uno de los aspectos que deberá figurar dentro del Plan de una Empresa, permite determinar el volumen de ventas a partir del cual dicha empresa obtendrá beneficios.
El punto de equilibrio es el punto o nivel de ventas en el que cesan las pérdidas y empiezan las utilidades o viceversa.
La clasificación del punto de equilibrio es: Punto de equilibrio económico, punto de equilibrio productivo y punto de equilibrio gráfico.
El punto de equilibrio económico y productivo, representan el punto de partida para indicar cuántas unidades deben de venderse si una compañía opera sin pérdidas.
El punto de equilibrio gráfico, esquematiza los ingresos y costos totales, a diferentes volúmenes de ventas. El gráfico de equilibrio tiene dos líneas; una de ellas es la línea de ventas o de ingresos y la otra línea de costos. Ambas líneas cortan en el punto de equilibrio. Ejemplo:
Para determinar el punto de equilibrio es necesario hacer una correcta clasificación de los costos fijos y costos variables.
Costos fijos: Son aquellos costos que no varían con el volumen. Son independientes de la producción o ventas, ejemplo de costos fijos son: los alquileres o la depreciación de equipos entre otros.
Costos variables: Aquellos que ocurren en proporción directa a la producción, como son: materiales, mano de obra, suministros, comisiones, etc.
Condiciones básicas:
1. Costos perfectamente definibles como variables o fijos.
2. Variación de costos e ingresos según una función lineal de tipo:
y = mx + b.
3. Precio de venta constante (W = Constante).
4. La producción es vendida de contado.
5. Producción de bienes de un solo tipo.
7. Corto plazo para asumir que unos costos son fijos.
Comentario:
1. Por lo general resulta muy complicado clasificar los costos en fijos y variables. Aún en el corto plazo, los costos tienden a variar en función del tiempo, principalmente en una economía inflacionaria en razón del cambio tecnológico, el mejoramiento de sistemas, etc.
2. Es muy difícil encontrar costos absolutamente variables. La cantidad requerida de un determinado bien por unidad depende, en muchos casos de una cantidad de variables como el tamaño del lote a produ- cir, la mezcla de producción, la calidad de los insumos, su homoge- neidad, etc.
Símbolos utilizados en los cálculos del Punto de Equilibrio:
PE = Punto de equilibrio
A = Aportación
BV = Relación de beneficios, volumen o relación de aportación.
PV = Precio de venta en UM
B = Beneficios o utilidades
CF = Costo fijo
CV = Costo variable
MS = Margen de seguridad
W = Ventas o precio de venta
2.1. Fórmulas básicas del Sistema de Equilibrio
2.1.1. Relación de aportación:
La relación de aportación o BV puede expresarse de diferentes formas:
[62] A = W – CV
La aportación (A) es la diferencia en unidades monetarias entre el precio de venta y los costos variables o efectivos. La relación de aportación es el porcentaje que representa la aportación con respecto al precio de venta.
Ejemplo:
Si vendemos un producto en UM 60 que tiene un costo variable de UM 40 nos da una aportación de UM 20 y una relación de aportación de 20/60, es decir 0.33. Es necesario conocer la BV antes de calcular el punto de equilibrio.
EJEMPLO 226 (Calculando la aportación y la relación de aportación)
Tenemos los siguientes datos simples de una compañía:
Ventas UM 2,500
Costos variables 1,500
Costos fijos 750
Utilidades UM 250
Calculando la aportación tenemos:
[62] A = 2,500 – 1,500 = UM 1,000
Calculamos la relación de aportación:
Esto quiere decir, que 40 centavos de cada UM vendida van destinados al pago de gastos fijos y a proporcionar utilidades. Después de pagar los costos fijos de UM 750, quedan disponibles UM 250 como utilidades.
2.1.2. Punto de Equilibrio
El punto de equilibrio expresa cuál es la aportación de los ingresos que va a ser igual (desde, luego que paga) a los gastos fijos. Por encima de este nivel de ventas las utilidades crecen a ese ritmo o tasa de aportación.
EJEMPLO 227 (Calculando el punto de equilibrio)
Un negocio de venta de camisas al detalle, opera de la siguiente forma: el dueño compra las camisas a UM 15 y las vende a UM 20 cada una. El alquiler de local es de UM 1,800 por año y no tiene otros gastos. ¿Cuál es el punto de equilibrio?
SOLUCION:
CF = 1,800; CV = 15; A = 5(20-15); BV = 0.25(5/20); PE = ?
Respuesta:
Las ventas necesarias en PE son: 360 camisas a UM 20 cada una (7,200/20), es decir, UM 7,200 al año.
2.1.3. Beneficios o utilidades
A un determinado nivel de ventas, tiene de tres formas distintas:
[67] B = W – CF – CV, 
Operando con las cifras de equilibrio, las utilidades también lo expresamos de esta forma:
EJEMPLO 228 (Beneficios actuales de una empresa)
Calcular las utilidades actuales de una empresa que tiene como gastos fijos anuales UM 800,000, una BV de 0.40 y unas ventas anuales de UM 3’000,000.
Solución:
W = 3’000,000; CF = 800,000; BV = 0.40; B = ?
Con la fórmula [68] obviamos el cálculo del PE:
[68] B = (3’000,000*0.40) – 800,000 = UM 400,000
[78] B = (3’000,000 – 2’000,000)*0.40 = UM 400,000
2.1.4. Margen de seguridad
Entendemos como margen de seguridad, la disminución porcentual de las ventas que pueden producirse antes de iniciarse las pérdidas. Los resultados de esta fórmula indican a la dirección de la compañía la proximidad de sus volúmenes de venta con respecto a su punto de equilibrio. Expresada de dos formas:
Esta medida representa la disminución porcentual de las ventas antes de que comiencen las pérdidas. En ambas fórmulas los resultados son porcentajes.
Aplicando la fórmula del MS al ejemplo 228, tenemos:
[62] A = 3’000,000*0.40 = 1’200,000
El nivel al que pueden bajar las ventas antes de empezar a producirse las pérdidas es 33%. Dicho de otra manera, el PE de la empresa está en el 67% de sus ventas actuales. Una empresa que venda aplicando su PE, tendrá un margen de seguridad de cero.
2.1.5. Ventas
Para saber cual es el nivel de ventas necesario para satisfacer determinadas condiciones de costos, aportaciones, etc. Expresada como:
[72] W = CF + CV + B ó 
La fórmula [72] constituye el mejor modo de expresar las ventas afectos de costo-volumen-utilidades.
Nuevamente utilizando los datos del ejemplo 103, en el que queremos calcular cual sería el volumen de ventas para obtener utilidades de UM 350,000:
Solución:
B = 350,000; CF = 800,000; BV = 0.40; W = ?
2.1.6. Costos fijos
Para saber qué proporción de los gastos fijos quedan afectados por determinadas acciones o medidas propuestas, quizá para justificar un incremento de los gastos variables, etc.
[74] CF = W – CV – B ó [75] CF = (W*BV) – B
Con el ejemplo 228, queremos saber a cuánto deben subir los gastos fijos para obtener utilidades de UM 400,000:
Solución:
W = 3’000,000; BV = 0.40; B = 400,000; CF = ?
[75] CF = (3’000,000*0.40) – 400,000 = UM 800,000
2.1.7. Costos variables
Nos permite conocer qué proporción de los costos variables cambian cuando ante variaciones en los precios, el volumen, etc.
[76] CV = W – CF – B
Aplicando la fórmula en el ejemplo 228, tenemos:
CV = 3’000,000 – 800,000 – 400,000 = UM 1’800,000
2.1.8. Fórmulas complementarias
, 
[79] CV = W(1 – BV)
3. Flujo de caja de los beneficios
Como vimos en el Capítulo 1, el flujo de caja de los beneficios, elaborados con cifras contables, es el instrumento financiero que permite medir la liquidez de la organización o del proyecto, determina cantidad de dinero en un momento dado.
Este flujo de caja es una herramienta esencial para la gerencia, por cuanto le indica los fondos de que dispondrá en determinados períodos para cubrir necesidades de liquidez. Muestra también el momento en que será necesario gestionar líneas de crédito señalando los plazos de endeudamiento (corto y largo plazo).
EJEMPLO 229 (Flujo de caja)
Tenemos la siguiente información de los estimados de efectivo de la Compañía ABC, para los siguientes 6 meses:
Saldo caja bancos al 31.12.04 16,000
Gastos mensuales:
– Personal 42,600
– Caja chica 400
– Intereses 530
Junio 2000 devolución de préstamo 40,000
Marzo 2000 pago de impuesto a la renta 6,800
Mayo 2000 Compra de activos 15,000
Condiciones de venta al crédito:
– 45% en el mes de venta con 4% de descuento
– 35% en el mes siguiente de la venta
– 18% en el segundo mes siguiente de la venta
– 2% pasa a incobrables
Condiciones de compra al crédito:
– 30% en el mes de la compra
– 70% en el mes siguiente
El nivel mínimo de caja de la empresa es de UM 13,400. Asimismo, la compañía tiene una línea de crédito con una entidad financiera de UM 54,000, que los puede utilizar mes a mes para cubrir sus necesidades de liquidez. El pago del préstamo es posible hacerlo en cualquier mes sin afectar el nivel mínimo de caja de UM 13,400. Los intereses del crédito son de 3% mensual pagado mensualmente.
Elaborar el Flujo de Caja para los próximos seis meses del año 2005.
4. Casos comunes en los negocios
4.1. Reparto de utilidades o pérdidas
Son casos cotidianos en la explotación de negocios, en los que existen varios socios, participacionistas o accionistas de acuerdo a la forma asociativa que de acuerdo a Ley adopte la empresa. Dependen de los montos y tiempo de los aportes para el capital social. Los más comunes son:
1º Caso: Cuando los capitales son iguales y los tiempos de los aportes diferentes
En este caso, la distribución de los beneficios o pérdidas es en forma proporcional al tiempo de los aportes de capital social. Para la solución de casos de este tipo, utilizamos la fórmula:
T = Tiempo (sumatoria de n1 + n2 + n3 … + nn)
EJEMPLO 230 (Reparto de utilidades cuando los capitales son iguales y los tiempos de los aportes diferentes)
Tres personas asociadas para la explotación de un negocio, aportan cada uno UM 50,000. Después de 10 años de operaciones la empresa arroja utilidades netas por UM 500,000. Los aportes de capital lo hicieron de la forma siguiente: el primero de los socios inicia el negocio; el segundo, 2 años después y el tercero a los 5 años. ¿Cuánto de utilidades le tocó a cada socio?
Solución:
UT. DEL NEG. = 500,000; T = 23; n1,2,3 = 10, 8, 5; i = ?
Calculando las utilidades de cada socio en forma proporcional a los tiempos de inversión, tenemos:
1º SOCIO UM 50,000 10 AÑOS
2º SOCIO UM 50,000 08 AÑOS
3º SOCIO UM 50,000 05 AÑOS
23 AÑOS
Las utilidades distribuidas deben sumar exactamente UM 500,000.
2º Caso: Cuando los tiempos son iguales
En este caso, la distribución de los beneficios o pérdidas es en forma proporcional a los aportes de capital social. Para la solución de casos de este tipo, utilizamos la fórmula:
EJEMPLO 231 (Reparto de utilidades cuando los tiempos son iguales)
Cinco personas fundan una empresa aportando un total de UM 112,000, al momento de suscribir la Minuta de Constitución, en la forma siguiente: Persona A, UM 30,000, Persona B, UM 26,000; Persona C, UM 23,000; Persona D, UM 18,000 y Persona E, UM 15,000. Después de 8 años ininterrumpidos de explotación del negocio, éste arroja utilidades netas por UM 2’000,000. ¿Cuánto le corresponde a cada uno en el reparto de utilidades?
Solución:
UT. DEL NEG. = 2’000,000; APORTES TOTALES = 112,000;
UTILIDAD INDIVIDUAL =?
1º Ahora determinaremos la utilidad de cada socio en forma proporcional a los aportes de capital:
Persona A UM 30,000
Persona B UM 26,000
Persona C UM 23,000
Persona D UM 18,000
Persona E UM 15,000 UM 112,000
Las utilidades distribuidas deben sumar exactamente UM 2’000,000.
3º Caso: Cuando los tiempos y los aportes de capital son diferentes
En este caso, la distribución de los beneficios o pérdidas es proporcional a los aportes de capital social y sus tiempos de permanencia como tal en la empresa. Estos casos, operan de la siguiente forma:
Primero: Multiplicamos los aportes de capital por el tiempo de trabajo en la empresa, restando en cada caso los retiros efectuados por cada uno;
Segundo: Sumamos los productos de los aportes de capital y
Finalmente: Procedemos al reparto de utilidades en forma proporcional a los resultados de las sumas de cada socio.
EJEMPLO 232 (Reparto de utilidades cuando los tiempos y los aportes de capital son diferentes)
Una empresa de tres accionistas cuyos aportes lo hicieron al inicio, comenzaron sus actividades hace 6 años, con beneficios actuales netos de UM 350,000. La estructura del capital accionario es la siguiente:
Primer accionista:
A la suscripción de las acciones aporta UM 2,500; el tercer año UM 8,000 y el cuarto año UM 13,000.
Segundo accionista: A la suscripción de las acciones aporta UM 5,000; en el segundo año UM 7,000 y en el cuarto retira UM 3,000 de su capital accionario.
Tercer accionista:
A la suscripción de las acciones aporta UM 15,000; en el tercer año retira UM 5,000, en el quinto y sexto año aporta UM 6,000 y UM 4,500 respectivamente.
Efectuar el reparto de utilidades en forma proporcional a los aportes y tiempos del capital accionario.
APORTES DE CAPITAL
POR TIEMPO DE PERMANENCIA EN LA EMPRESA
Distribución de utilidades:
Las utilidades distribuidas deben sumar exactamente UM 350,000
EJERCICIOS DESARROLLADOS
Ejercicio 233 (TIR de un BONO)
Un bono que paga un cupón del 14% nominal anual por semestre vencido y al que le quedan 20 años hasta su vencimiento, es vendido a UM 85. Determine su TIR hasta el vencimiento.
Solución:
VN = 100; ib = 0.14; nb= (12/6) = 2; VA = 85; i = ?; TIR= ?
1º Calculamos la tasa del período semestral:
2º Elaboramos el flujo de caja para calcular la TIR de la operación financiera:
Con la tasa periódica que nos ha proporcionado la TIR calculamos la tasa efectiva anual:
(44A) J = 0.083*2 = 0.1660
Respuesta:
La TIR hasta el vencimiento es 17.29%. La tasa de interés (ib) del Bono sólo es utilizada para calcular los intereses (I).
Ejercicio 234 (Precio de un BONO)
¿Cuál es el precio actual de un bono con un valor nominal de UM 100, que paga por semestre vencido el 15% de interés nominal anual, si la TEA hasta el vencimiento dentro de 10 años es 23%?
Solución:
VN=100; ib = 0.15; TEA = 0.23; nb = (12/6) = 2; I =?
1º Calculamos el valor semestral de los intereses y el valor futuro al final de los 10 años:
2º Calculamos el interés (I=C) producido y el VF de cada bono:
[19] VF20 = 100*1.075 = UM 107.50
3º A partir de la TIR calculamos la tasa del período:
4º Como I es un valor de C, tenemos:
C = 7.50; i = 0.1091; n = 20 (10*2); VF = 107.50; VA = ?
VA = [24] + [21] ó Función VA:
Respuesta:
Luego, el precio pagado hoy por el BONO es UM 73.57.
Ejercicio 235 (TIR de un BONO)
¿Cuál es la verdadera TIR hasta el vencimiento de un bono de cinco años de vida, 15% de interés anual, adquirido a la par, si el inversor no reinvirtiese los cupones recibidos? (VN: UM 100).
Solución:
VN = 100; ib = 0.15; nb = 1; I = ?
1º Calculamos los intereses:
2º Como no hay reinversión de los cupones y el valor de los intereses (I) representa la cuota periódica asumimos el pago total de los intereses y del Bono al final del año cinco:
Respuesta:
Luego la TIR verdadera del Bono hasta su vencimiento es 11.48%. Al no haber reinversión de los cupones, no hay capitalización.
Ejercicio 236 (Alternativas de inversión)
¿Cuál de los dos títulos siguientes tiene una TIR efectiva anual superior?
a) Una Letra del Tesoro a 3 meses vendida a UM 4,882 cuando tiene un valor nominal de UM 5,000 o
b) Un bono vendido a la par, que paga un tipo de interés nominal anual del 10% por semestre vencido.
Solución: (a)
VN = 5,000; VA = 4,882; n = 3; TIR = ?; j = ?; TEA = ?
1º Elaboramos el flujo de caja, para calcular la TIR:
2º Con la TIR del período calculamos la TEA:
(44A) j = 0.007993*12 = 0.0959
Solución: (b)
j = 0.10; i = (0.10/2) = 0.05; TEA = ?
Respuesta:
a) La TIR anual (TEA) de la letra del tesoro es 10.02%
b) La TIR anual de un Bono vendido a la par es 10.25%
Luego el Bono (b) tiene la TIR anual mayor, es la mejor inversión.
Ejercicio 237 (TIR de un bono)
Un bono del Estado a un año, recién emitido, proporciona un cupón de 9.48% nominal anual pagadero por semestres vencidos, su precio actual de mercado es de UM 1,050, y su precio esperado a fin del semestre es de UM 1,080. Asumimos como valor nominal UM 1,000.
Determinar:
a. La TIR del semestre
b. ¿Cuál sería la TIR hasta su vencimiento si comprásemos el bono ahora y lo mantuviésemos durante el resto de su vida?
Solución (a)
VN = 1,000; ib = 0.0948; nb = (12/6) 2; VA = 1,050; VF = 1,080; I = ?
1º Calculamos el valor de los intereses:
2º Determinamos la TIR del semestre:
Solución (b)
Respuesta:
a) La TIR del semestre es 7.37%
b) La TIR hasta su vencimiento es 5.90%
Ejercicio 238 (Deuda del Estado)
El Estado emite bonos a 5 años, con fecha de emisión 1/01/02. El nominal de cada título es de UM 1,000 y ofrece un tipo de interés de 9,5%. El inversor los suscribe el 31/09/01 al 102% de su valor (es decir, paga UM 1,020 por cada título). Calcular su rendimiento efectivo:
Solución:
VN = 1,000; ib = 0.095; nb = 5; I = ?
I1 = 1000*0.095 = UM 95
I2 = 1000*0.095 = UM 95, así sucesivamente
Para aplicar la función TIR, construimos el flujo de efectivo:
Por lo tanto, la rentabilidad efectiva que proporciona este título (en las condiciones adquiridas) es del 8.99%, inferior al 9.5% nominal que ofrece.
¿Por qué esta menor rentabilidad? Básicamente por dos motivos:
1º Porque hemos pagado por el título más que su valor nominal (UM 1,020 vs. UM 1,000) y
2º Porque hemos desembolsado el importe del bono 3 meses antes de la fecha de emisión.
Ejercicio 239 (Deuda del Estado)
El Tesoro Público emite obligaciones a 10 años, con fecha de emisión 01/07/2004. El valor nominal de los títulos es de UM 5,000, con el 9% de interés y amortización a la par. Estas obligaciones fueron suscritas el 01/01/2004.
Determinar el rendimiento efectivo de estos títulos:
a) Precio de suscripción: 104.6%
b) Precio de suscripción: 96.7%
Solución:
VN = 5,000; nb = 0.09
a) Precio de suscripción: 5,000*1.046 = UM 5,230
I (C)= 5,000*0.09*1 = UM 450, representa los intereses de cada período.
Para el cálculo del rendimiento efectivo hemos aplicado la función financiera TIR de Excel.
Respuesta(a):
La rentabilidad efectiva de cada título del ejercicio (en condiciones de a) es de 8.31%, menor al 9% nominal que paga.
Solución:
b) Precio de suscripción: 5,000*0.967% = UM 4,835
I (C) = 5,000*0.09*1 = UM 450, representa los intereses de cada período.
Para el cálculo del rendimiento efectivo aplicamos la función financiera TIR:
Luego, la rentabilidad efectiva de cada título del ejercicio (en condiciones de b) es de 9.53%, superior al 9% nominal que paga.
Sistema de Equilibrio
Ejercicio 240 (PE)
Tenemos un pequeño negocio de venta de discos compactos (CDS). El dueño del negocio compra cada caja de CDS de 10 unidades a UM 7.50 y los vende al detalle a UM 10.00. Paga anualmente por alquiler del establecimiento la suma UM 1,800 y no tiene otros egresos. Calcular cuántas cajas de CDS debe comprar y vender anualmente para no perder ni ganar.
Solución:
CF = 1,800; CV = 7.50; W = 10; BV = ?; PE = ?
Respuesta:
Para no ganar ni perder debe comprar y vender 720 cajas.
Ejercicio 245 (Caso Integral del sistema de equilibrio)
Los directivos de una empresa aplicarán diversos métodos para mantener y mejorar sus niveles de rentabilidad. Previamente quieren conocer las posibles repercusiones de las decisiones asumidas hoy. Tomaremos los datos de los libros de contabilidad y del presupuesto operativo de la empresa. Con éstos, más los que representen las condiciones futuras, aplicaremos las fórmulas del sistema del equilibrio.
1º Calcularemos la BV y, seguidamente el punto de equilibrio:
2º Calculamos el margen de seguridad:
Supuestos y consecuencias:
Supuesto 1:
Aumentemos los costos fijos en UM 100,000; todo lo demás permanece igual. Determinar el nuevo PE, las nuevas utilidades y el nuevo margen de seguridad:
Explicación y resultados de 1:
Como los costos variables y el precio de venta no han cambiado la BV permanece invariable:
Comprobando las fórmulas para verificar si las utilidades coinciden o no con los datos del cuadro de operación, tenemos:
o también:
Ahora procedemos a calcular los beneficios y el margen de seguridad:
Demostración del supuesto 1:
El incremento en los costos fijos hace que disminuyan las utilidades en la mitad (50%), el área rentable de ventas decrece en la en la misma proporción.
Supuesto de 2:
Ahora disminuiremos los costos variables en UM 100,000; todo lo demás permanece igual. Calcular el nuevo punto de equilibrio, las nuevas utilidades y el nuevo margen de seguridad.
Explicación y resultados de 2:
Al cambiar la relación de costos variables a ventas cambia también BV:
Demostración del supuesto 2:
En el supuesto 1, apreciamos que con un incremento de UM 100,000 el cambio en las utilidades debe darse en la misma proporción. En este segundo supuesto un cambio de UM 100,000 en los costos variables produce cambios en las utilidades. El PE puede lograrse con un poco más de la mitad de las ventas (por la mayor aportación) es decir, que cada UM de venta por encima del punto de equilibrio produce UM 0.25 en lugar de sólo UM 0.20 anteriores.
Supuesto 3:
Queremos modernizar la planta con nuevos equipos. Esta decisión significa un costo anual adicional de UM 200,000 incrementando los gastos fijos totales a UM 400,000 con la seguridad de ahorrar el doble de esos costos adicionales en mano de obra directa y materiales directos. En consecuencia los costos variables disminuyen hasta UM 1’200,000.
Repercusiones del nuevo plan:
Explicación y resultados 3:
Determinaremos en primer lugar, la nueva estructura de utilidades:
(Igual a condición original)
Demostración del supuesto 3: Como podemos apreciar, el punto de equilibrio de UM 1’000,000 y el volumen de ventas de UM 2’000,000 es exactamente igual al obtenido al inicio. No obstante, este supuesto puede cambiar radicalmente la estructura de utilidades con la que fue en un primer momento. Como la BV es el doble en este supuesto, las utilidades serían también el doble, por encima de las ventas en punto de equilibrio. Comprobemos su veracidad aplicando al caso de UM 1’600,000 de ventas:
Condiciones iniciales: 
Supuesto 3:
Esto nos demuestra que si, el supuesto 3, duplica las utilidades en forma rápida para cada UM de venta, por encima del PE, también obliga a duplicar las ventas por debajo de este punto. Sí el PE aumenta incluso con una BV mejorada, la empresa será vulnerable a pérdidas en estaciones de venta reducida, cuando las utilidades por efecto de aportaciones más altas juegan un papel de menor importancia en relación con la previsión de las pérdidas.
Con el supuesto 3, la empresa podrá conseguir utilidades en forma rápida por encima de su condición inicial, sin tener obligatoriamente que alterar su vulnerabilidad, a condición de que el PE (el mismo en ambos casos) represente el modelo de planificación que planteamos anteriormente.
Supuesto 4:
Sobre la base de la situación inicial, la dirección de la compañía plantea un volumen futuro de ventas de UM 3’600,000 para incrementar las utilidades.
Repercusiones del supuesto 4:
1. Por problemas de mercado, obtenemos únicamente un volumen de ventas de UM 2’600,000.
Tercera parte de las utilidades obtenidas en el supuesto 1, con dos millones de UM de ventas.
2. Las ventas no superan los dos millones:
Pérdidas
3. La cantidad de unidades vendidas son iguales al nivel superior previsto pero los precios del mercado desminuyen en un 15%.
Nuevos indicadores:
CV = 2’400; PE = 3’060 (3’600 – 15%); CF = 800,000
Demostración del supuesto 4:
Como apreciamos la BV superior, al estimado inicialmente, no proporciona el peso suficiente para superar los gastos fijos más altos poniendo a la empresa en una situación de vulnerabilidad ante el más ligero cambio en las condiciones económicas generales. Este tipo de planificación es aplicable para casos en que la empresa esté pensando en cambiar radicalmente la configuración de la compañía y cuando esperamos un volumen de ventas considerablemente alto. Si el volumen de ventas de UM 3’600,000 representa el máximo potencial de mercado real disponible, entonces, a la empresa le conviene agregar un segundo turno y pagar los gastos extras que supone la diferencia de turnos en salarios y otros costos de menor importancia. Pero en el caso de que hubiera la posibilidad de que la Dirección de Comercialización de la empresa vaya a conseguir UM 12’000,000 de ventas anuales, esta medida resultará muy prudente y juiciosa.
En este nivel de ventas los gastos fijos adicionales de UM 600,000 producen un aumento en las utilidades de UM 1’000,000. Como quiera que las utilidades deban superar primero el nivel de los gastos fijos, las aportaciones sufrirán una diferencia mucho más impresionante.
Aportaciones 4’000,000 2’400,000
Supuesto 5: Ahora tratamos de saber cuáles van a ser las ventas adicionales necesarias para equilibrar una reducción del precio de venta. Volviendo a la situación inicial, ¿qué ventas adicionales necesita generar con el objeto de equilibrar una reducción de precios del orden del 10% sin que disminuyan las utilidades?
Nuevos indicadores:
CV = 1’600; W = 1’800 (2’000-10%); CF = 200,000
[67] B = 2’000,000 – 200,000 – 1’600,000 = UM 200,000
Ventas Necesarias:
Ventas adicionales:
3’600,000 – 1’800,000 = UM 1’800,000
Demostración del supuesto 5:
A menos que tengamos oportunamente los datos de costos-volumen-utilidades, lo cual significa separar y dividir los gastos fijos de los variables, será difícil pronosticar qué incremento de las ventas son necesarios para superar una disminución del 10% en los precios, sin que disminuyan las utilidades por debajo de la meta de UM 200,000. Es decir, afrontar una disminución del precio de 10%, equivale a duplicar holgadamente el nivel de ventas.
Ejercicio 246 (Punto de equilibrio)
Una pequeña empresa de confecciones que produce camisas tiene un costo diario de UM 1,160, compuesto por los salarios, piezas de repuestos, depreciación, alquileres, supervisión. Cada camisa tiene un costo de producción de UM 4 y son vendidos al por mayor a UM 8.
1) ¿Cuántas camisas debería vender diariamente para no ganar ni perder?
2) Con un aumento en el precio de los insumos y con nuevos costos fijos y variables:
CV = 4.2; CF = 1,218
Determinar:
a) Las ventas necesarias en punto de equilibrio, si cada camisa es vendida a UM 8 cada una.
b) Cuál será el PE si aumentan el precio de venta a UM 8.5 cada camisa.
c) Si conocemos que es posible vender 315 camisas diariamente, ¿cuál es el precio a cobrar por cada camisa para garantizar que no haya pérdida?
Solución: (1)
CV = 4; CF = 1,160; W = 8; PE =?
Efectuada una adecuada clasificación de las variables, procedemos a calcular el PE:
Como deseamos saber cuántas camisas debemos vender diariamente, dividimos el monto encontrado entre el precio de venta de cada camisa:
Comprobando los resultados obtenidos, tenemos:
Solución: (2 – a)
CV = 4.2; CF = 1,218; W = 8; PE = ?
Solución: (2 – b)
CV = 4.2; CF = 1,218; W = 8.5; PE = ?
Solución: (2 – c)
CV = 4.2; CF = 1,218; PE = 315; PV = ?
1º Para la solución de este ítem del ejercicio, es necesario establecer la siguiente igualdad: 
El producto del PE por el PV es igual al ingreso total, razón por la cual igualamos a éste con el egreso total: producto del CV por el PE más los costos fijos. En PE los ingresos totales son igual a los egresos totales.
315PV = (4.2)(315) + 1,218 PV = UM 8.06
Respuesta:
1) Diariamente debemos vender 290 camisas para no ganar ni perder.
2 – a) Las ventas diarias en PE son 320 camisas, al precio de UM 8 cada una.
2 – b) Las ventas diarias en PE son 283 camisas, si aumentamos el precio a UM 8.5 cada una.
2 – c) El precio a cobrarse por cada camisa es UM 8.06, para llegar a la venta en punto de equilibrio, si vendemos al menos 315 camisas diariamente.
Ejercicio 247 (Sistema de equilibrio)
Calcular los beneficios actuales, el PE y el MS de una empresa que tiene como gastos fijos anuales UM 950, BV de 0.35 y ventas anuales por UM 7,500.
Solución:
W = 7,500; BV = 0.35; CF = 950; B = ?; PE = ?; MS = ?
1º Calculamos los beneficios o utilidades:
[68] B = (7,500 x 0.35) – 950 = UM 1,675
2º Calculamos el PE:
3º Margen de seguridad:
Este porcentaje de MS 63.81% nos indica que las ventas pueden bajar en un 63.81% antes que comiencen las pérdidas. Dicho de otra manera: el PE de la empresa está en el 38.17% de las ventas actuales.
Ejercicio 248 (Análisis económico con Pe)
Vamos a analizar desde el punto de vista económico, una explotación apícola denominada «La abeja orquídea» ubicada en la ciudad de Tarapoto, Región San martín, Perú.
La explotación cuenta actualmente con 100 colmenas «tipo Jumbo». En el manejo de sus colmenas, el propietario emplea el sistema Nómada o en movimiento, movilizando sus apiarios hasta cuatro veces en un ciclo anual.
La producción de miel, estimada por colmena es de 40 litros. La miel en el mercado (envasada y etiquetada), tiene un precio promedio de UM 40.00 /litro.
Los costos anuales, calculados para esta explotación apícola, son los siguientes:
1. Combustible: Considera unas 30 visitas a los apiarios con un desembolso de UM 150.00 / visita.
2. Alimentación artificial, dos veces al año a las 100 colmenas y consideran UM 40.00 de cada una (las dos veces).
3. Cambio de abejas reina en el total de colmenas UM 65.00 de cada una.
4. El control y tratamiento contra Varroasis es una vez al año, con un costo de UM 45.00 por colmena.
5. Renta del extractor. El pago y uso de extractor es 4 veces al año, con un costo de UM 1,500.00 cada ocasión.
6. Adquirimos anualmente 4,000 contenedores por un valor UM 3.00 c/u, para el envasado de la miel,
7. El etiquetado para toda la producción tiene un costo de UM 3,000.
8. La mano de obra permanente, representa UM 25,000.00 al año.
9. El pago mensual de agua es de UM 160.00
10. El pago bimestral de luz es UM 250.00
Calcular el punto de equilibrio en ingresos y producción para la explotación apícola.
1° Clasificamos los costos:
2° Cálculo de las variables:
CFt UM 34,420.00
CVu UM 9.625 (38,500/4,000 litros)
PVu UM 40.00
3° Aplicando las fórmulas, tenemos:
Solución:
Wu = 40; CF = 34,420; CVu = 9.625; Pe = ?
Respuesta:
Por encima de los ingresos y volumen de producción representados por el punto de equilibrio, la empresa obtiene obtiene utilidades. Contrariamente, por debajo del punto de equilibrio obtiene perdidas. De acuerdo con los resultados obtenidos la empresa en análisis opera con rendimientos excelentes.
FLUJO DE CAJA DE UNA EMPRESA EN OPERACIONES
Ejercicio 249 (Flujo de caja)
Una compañía inicia sus operaciones el 1º de enero del año 2000:
a. Situación inicial:
ACTIVO
Caja y Banco UM 6,400
Fijo 6,000
Intangible 400 UM 12,800
PASIVO
Circulante UM 600
Fijo 4,400
Capital 7,800 UM 12,800
b. Estimamos los gastos mensuales de efectivo en:
Remuneraciones y leyes sociales UM 160, alquileres UM 24, varios UM 40.
c. Estimado de compras: (En UM)
Enero 2,000; marzo 3,200; julio 2,400; octubre 2,200; noviembre 2,200.
d. Gastos de publicidad: (En UM)
Febrero 400; abril 600; junio 800; diciembre 800.
e. Estimado de ventas: (En UM)
Enero 1,200; febrero 1,000; marzo 1,400; abril 1,400; mayo 1,400; junio 1,400; julio 1,400; agosto 1600; septiembre 1,600; octubre 1,600; noviembre 2,400; diciembre 2,600.
f. Otros supuestos:
Todas las compras son al contado
Las ventas consideran un plazo de 60 días para su pago
El costo de la mercadería vendida es de UM 10,000.
En octubre el pago de UM 40 es en efectivo, por intereses del pasivo circulante.
La depreciación del activo fijo es en 6 años.
El activo intangible es amortizado en dos años
Al finalizar el período los UM 1,400 del pasivo fijo se convertirán en circulante.
Genera reserva para indemnización a razón de UM 16 mensual.
Elaborar:
1) El estado de ganancias y pérdidas
2) El balance general
3) El flujo de caja mensual
1. ESTADO DE GANANCIAS Y PÉRDIDAS GLOBAL
1. Ingresos
– Ventas 19,000
2. Egresos
– Costo de mercadería vendida 10,000
– Publicidad 2,600
– Remuneración 1,920
– Alquileres 288
– Indemnizaciones 192
– Depreciación Activo Fijo 1,000
– Amortización Activo Intangible 200
– Varios 960
– Intereses 40 17,200
– Utilidad 1,800
2. BALANCE
PASIVO
– Circulante 2,000
– Fijo 3,000
– Provisión indemnizaciones 192 5,192
– Capital 7,800
– Utilidad 1,800 9,600 14,792
ACTIVO
– Intangible
Total 400
Menos Amortización Ac.Intang. 200 200
– Fijo
Total 6,000
Menos Amortización Act. Fijo 1,000 5,000 5,200
Activo Circulante:
Pasivo + Capital 14,792
Menos: Fijo + Act. Intang. 5,200
Activo Circulante 9,592
COMPOSICION DEL ACTIVO CIRCULANTE
Disponible
Caja Banco 6,400
Situación inicial
(+) Ing. En efectivo
(Ventas Ene – Oct.) 14,000 20,400
Menos Gastos en Efectivo:
Compras 12,000
Publicidad 2,600
Gastos mensuales (132 x 12) 3,168
Intereses Pagados 40 17,808
Situación final 2,592
Exigible
– Cuentas por cobrar (Vtas. Nov. Y Dic.) 5,000
Por consiguiente:
Inventario 1,000
Total Activo Circulante 8,592
ESTADO DE GANANCIAS Y PÉRDIDAS
(Correspondiente al Ejercicio 2004)
Ventas UM 19,000
Costo mercadería vendida 10,000 UTILIDAD BRUTA 9,000
Gastos de Venta
– Publicad 2,600
Gastos Administrativos
– Remuneraciones 1,920
– Alquileres 288
– Indemnización 192
– Depreciación Activo Fijo 1,000
– Amortización Act. Intang. 200
– Varios 960 4,560
Gastos Financieros
– Intereses pagados 40
Gastos de Operación 7,200 UTILIDAD DE OPERACIÓN 1,800
Bibliografía
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5. Casos en Administración de negocios, ESAN, Mc Graw Hill, México
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7. Compendio de Matemáticas Financieras en la Evaluación de Proyectos, Ratios Financieros y Aritmética de la Mercadotecnia., César Aching G., 1º Edición CjA Ediciones, Lima – Perú
8. Curso de Matemáticas Financieras, Aula Fácil.com
9. Diccionario de Economía y Finanzas, Carlos Sabino Editorial Panapo, Caracas 1991.
10. Enciclopedia Encarta 2004, Microsoft Corporation
11. Evaluación de Proyectos, Baca Urbina Gabriel, Mc Graw Hill, Colombia
12. Evaluación estratégica de proyectos de inversión, Kafka Kiener Folke, Universidad del Pacífico, Lima – Perú
13. Facilidades Financieras de Excel, Gutiérrez Carmona Jairo, Universidad Externado, Colombia
14. Fundamentos Matemáticos y Cálculo Financiero, Márquez Yévenes Jorge W., Universidad de Concepción, Bolivia
15. Guía Completa de Microsoft Excel 2000, Dodge M. Y Craig Stinson, Mc Graw Hill, México
16. Guía informativa sobre Negocios en el Perú, Pricewaterhouse Coopers en Perú, 2002
17. Ingeniería Económica, Blank y Tarquin, Mc Graw Hill, Colombia
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19. Introducción al riesgo país, Santiago J. Alvarez, webmaster_alvarez@yahoo.com
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21. Las Matemáticas Financieras en el Campo de los Negocios, César Aching G., Prociencia y Cultura S.A., Lima – Perú
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24. Macroeconomía, Parkin Michael, Addison-Wesley Iberoamericana, USA.
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URLs Consultados:
http://www.gestiopolis.com/recursos/documentos/fulldocs/fin/finbasaplij.htm
TALLER DE FINANZAS BÁSICAS APLICADAS
http://www.gestiopolis.com/recursos/experto/catsexp/pagans/fin/no4/matfras.htm
PIPE
http://www.gestiopolis.com/canales/financiera/articulos/22/cauetio.htm
EVALUACIÓN DE ALTERNATIVAS DE INVERSIÓN: ANÁLISIS MATEMÁTICO Y FINANCIERO DE PROYECTOS (I, II, III, IV y V)
http://www.gestiopolis.com/canales/financiera/articulos/no%205/interesalinteres.htm
HAY QUE PONERLE MUCHO INTERÉS AL INTERÉS
VARIOS
VARIOS
Referencias URL
[URL 1] Decisiones de inversión (CEJA, 4ª ed. 2004)
[URL 2] http://www.antroposmoderno.com/antro-articulo.php?id_articulo=441
TRANSFORMACIÓN DE LA MERCANCIA EN DINERO (Teoría del Valor de MARX)
[URL 3] http://www.gestiopolis.com/Canales4/eco/dinemo.htm
DINERO, MONEDA Y FINANZAS (La ley del valor de Marx)
[URL 4] http://aulaempresarial.com.ar/auladigital/003/eldinero.html
EL DINERO Y LA POLÍTICA MONETARIA
[URL 5] http://www.sbs.gob.pe/PortalSBS/infpublico/faq.htm
PREGUNTAS FRECUENTES
[URL 6] http://www.matematicas-financieras.com/
MANUAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS
[URL 7] http://www.bcrp.gob.pe/Espanol/WPublicaciones/Revista/RevAgo98/JorMor.pdf
CALIFICACION DE RIESGO PAIS
[URL 8] http://www.monografias.com/trabajos13/ripa/ripa.shtml
RIESGO PAÍS, Santiago J. Álvarez
[URL 9] http://www.gestiopolis.com/canales5/fin/espefina.htm
http://www.monografias.com/trabajos25/especulacion-financiera/especulacion-financiera.shtml
ESPECULACION FINANCIERA Y DESARROLLO ECONOMICO
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